노라조 고등어 합성

고등어노래가 나오길래 듣다가 그만 해보고싶어져서..

 

창과 방패 패러독스

한자성어인 '모순'에 대한 중국의 고사가 있다. 옛날 초나라에 창과 방패를 팔려는 사람이 있었다. 그는 먼저, 방패를 하나 들고서 "이 방패는 견고하여 어떤 창으로도 뚫을 수 없다."라고 했다 .그러고 나서, 창을 들어 "이 창은 예리하여 무엇이든 뚫을 수 있다. "라고 자랑하였다. 이 때에 지나가던 사람이 "당신은 창으로 그 방패를 찔러 보시오"라고 말하자, 그는 그렇게 할 수 없었다고 한다. 이 고사에서 창과 방패의 관계가 바로 모순이며, 이렇게 둘 중에서 하나가 성립되면, 다른 하나는 절대로 성립될 수 없는 관계, 서로 용인도리 수 없는 관계를 모순이라 한다

거짓말쟁이 패러독스

유명한 거짓말쟁이의 파라독스를 알아보자.
다음은 그 가장 간단한 형태이다.
"이 문장은 거짓이다." 이 문장은 참인가? 그렇다면 이 문장은 거짓이다. 이 문장이 거짓이라면? 그렇다면 이 문장은 참이다. 이러한 모순투성이 명제는 일상생활에서 생각보다 훨씬 많이 쓰이고 있다.
스스로를 부정하는 문장 형식은 거짓말쟁이 파라독스를 가장 명백하게 보여준다. 그 까닭은 거짓말쟁이는 항상 거짓말만 하고, 진실된 사람은 항상 진실만 말한다는 애매한 가정이 필요없게 되기 때문이다.
이러한 예는 얼마든지 변용할 수 있다.
버트랜드 러셀은 어느 날, 철학자 조지 무어(George Moore)가 일생에 단 한번만 거짓말을 했다고 말했다. 그것은 어떤 사람이 조지 무어에게 "당신은 항상 진실만을 말합니까?"하고 물었을 때, 한참 생각하더니 "아니오"라고 답한 것이었다.

다양한 패러독스들

과녁을 향해 쏘아진 화살을 상상해보자. 화살은 과녁까지의 거리의 반을 지나고, 남은 거리의 반을 지나고, 또 남은 거리의 반을 지나고... 과녁을 향해 날아간다. 어떤 순간에도 화살과 과녁의 거리가 존재하기 때문에 화살은 결코 과녁에 도달할 수 없지 않을까? 선분을 긋는데 처음에는 10cm를, 연이어 5cm의 선분을, 다음에는 2.5cm를… 이어나가면 이 선분의 길이는 과연 얼마가 되며 그 끝을 알 수 있을까. 이 물음들은 ‘발이 빠른 아킬레스는 결코 거북을 따라잡을 수 없다’는 우리에게 너무나 친숙한 패러독스와 일맥상통한다. 그리스의 유명한 철학자 제논은 공간과 시간에 대한 통념과 관련해 다음의 네가지 패러독스 시리즈를 제기했다.
◆ 반분의 패러독스

움직임이란 존재할 수 없다. 왜냐하면 도착점에 도달하려면 중간지점을 통과 해야 되고 중간지점에 도달하기 전에 4분의 1지점을 반드시 통과해야 하고 그 4분의 1지점을 통과하기 전에는 8분의 1지점을 통과해야하는데 그렇다면 결코 출발할 수가 없다.

◆ 아킬레스의 패러독스

가장 발이 빠르다고 알려진 아킬레스도 그보다 먼저 출발한 거북이는 결코 따라잡을 수 없다. 아킬레스가 거북이의 출발점에 도착했을 때는 이미 거북이는 앞으로 나아갔고 아킬레스가 다시 따라잡을 경우에도 거북이는 이미 그 지점을 지나쳐버리기 때문.

◆ 화살의 패러독스

시간은 최소의 단위인 ‘순간’으로 구성돼 있다. 쏘아진 화살은 움직이든가, 아 니면 멈춰있든가 둘 중의 하나다. 만일 화살이 움직인다면 화살은 어느 순간의 시작점인 동시에 어느 순간의 끝점의 위치에 놓여져야 한다. 이것은 ‘순간’을 분할할 수 있다는 얘기가 돼 모순이 되므로 화살은 정지해 있어야만 된다.

◆ 경기장의 패러독스

그림과 같이 경기장에 세 열이 있다. A열은 멈춰있고 B와 C열은 같은 속도로 반대방향으로 움직여서 A, B, C 세열이 정렬됐다. 이때 B열의 구성원들은, A열의 성원은 한명씩 C열의 성원은 두명씩 통과하게 된다. B와 C열이 A위치에 도달하는데는 같은 시간이 걸리므로 시간의 반은 시간의 두배와 같다.

◆ 궤변을 극복한 것은 ‘무한’

제논의 패러독스들은 시간과 공간은 무한히 나눌 수 있고 움직임은 불연속의 조합이라고 믿었던 당시의 철학자들에게 파문을 던졌다. 제논의 패러독스에서 완전히 해방되는 데는 2천년이 넘게 걸렸다. 아리스토텔레스가 ‘궤변’으로 낙인찍어버린 후로 어느 정도 사장됐던 제논의 패러독스는 칸토르의 무한론으로 극복되기에 이른다.

19세기말 ‘수렴’의 개념이 생기기 전에는 n이 0이라는 것은 이상한 궤변이었을 뿐이었다. 칸토르의 무한론에 따르면 자연수와 유리수의 무한한 양은 같은 반면 자연수의 ‘무한’과 실수의 ‘무한’의 양은 다르다. 즉, 실수가 자연수보다 훨씬 큰 ‘무한’을 나타낸다. 결과적으로 시간을 실수의 ‘무한’으로 등분한다는 것과 자연수의 ‘무한’으로 나누는 것은 다르다. 여기에 등장한 ‘수렴’의 개념은 양수의 무한합은 무한이라는 예상을 깨고 + + + + … = 1 이라는 값을 얻어냈다. 결국 제논의 패러독스는 ‘무한’이라는 새로운 개념으로 미궁을 빠져나올 수가 있게 된 것이다.

패러독스가 수학사에 한 획을 그으며 수학의 기초를 흔들고 새로운 개념을 만들어낸 것은 이 경우가 처음은 아니다 (러셀의 패러독스나 괴델의 불완정성의 정리들이 대표적 예). 또한 여타의 과학분야에서도 상식이 깨지면서 과학의 발전을 가져온 것을 우리는 잘 알고 있다

패러독스란 ?

참된 명제와 모순되는 결론을 낳는 추론(推論).

 

배리(背理) ·역리(逆理) 또는 이율배반(二律背反)이라고도 한다. 명확한 역설은 분명한 진리인 배중률(排中律)에 모순되는 형태로 인도하는 것이 보통이다. 예부터 알려진 역설에 다음과 같은 것이 있다.

거짓말쟁이의 역설로는 신약성서 가운데 《디도에게 보낸 편지》(1:12)에 “그레데인(人) 중에 어떤 선지자가 말하되, 그레데인들은 항상 거짓말쟁이며”라는 말이 있다. 선지자 자신이 그레데인이므로 이 경우 ‘그레데인은 항상 거짓말쟁이’라는 말을 긍정하거나 부정하거나 간에 모순을 낳는 것이므로 역설이다.

이 역설은 옛날부터 많이 논해 왔지만, 전칭명제(全稱命題)의 부정은 특칭명제(特稱命題)가 되는 점에 의문의 여지가 있다. I.칸트의 《순수이성비판》의 이율배반도 역설의 형태를 취하여 문제를 제기한 것이다.

수학의 집합론에 관련하여서는 다음과 같이 역설이 지적되며, 이것을 조정하고자 하여 수학 기초론이 발달하였다. 리처드의 역설은 ‘18자 이내로 정의할 수 없는 최소의 자연수’라고 말할 때, 이 자연수는 정의할 수 없다면서, 사실은 상술한 말(바로 18자로 된 말)로 정의되었다. B.러셀의 역설은 자기 자신을 포함하지 않는 집합만을 모두 모은 집합을 M이라고 하면, M은 자기 자신을 포함하였거나 포함하지 않았거나의 어느 쪽이다. 그러나 M이 자기 자신을 포함하였다고 하면, M은 M 안에 있는 집합이므로 자기 자신을 포함하지 않을 것이기 때문에, M이 자기 자신을 포함하지 않는다면, 그것은 M 안에 들어 있지 않으면 안 된다. 즉, M은 자기 자신을 포함시킬 수도, 포함시키지 않을 수도 없다. 그 밖에 집합론에서는 순서수(順序數) 전체의 집합에 관한 부랄리포르티(Burali-Forti)의 역설 등이 알려졌다.

이들 역설에 빠지는 것을 막는 수단으로서, 개념에 단계를 붙이는 러셀형(型)의 이론, 공리주의(公理主義) 집합론의 유(類)와 집합의 구별, 또는 말의 의미를 이중으로 사용하는 일의 금지 등 여러 가지 연구가 행해진다.

배중률만큼 명확하지 않은 기성 학술 또는 경험적 사실에 대하여, 이것을 부정하는 목적을 내포하는 역설을 배리 또는 역리라고 하는데, 배리와 역리는 엄밀하게 구별되는 것이 아니며 동의어로도 사용한다.

 

출처:네이버 사전.

수식 고치기

★★★☆☆

 

다음 수식이 있다.

 

101-102=1

62-63=1

 

다음 수식을 숫자 하나만 옮겨서 맞게 하여라

 

(크기는 상관없으며 단 하나만 움직여야 한다 다른숫자랑 바꿀수도 없고 부호는 움직일수 없다. 또한 무언가를 추가할수 없다.)

 

 

 

 

답: 101-10^2=1

      2^6-63=1  ^는 제곱표시

가짜 동전 구별하기.

★★☆☆☆

 

동전이 들어 있는 열 개의 주머니가 있다. 그들 중 한 주머니는 가짜 동전으로 채워져 있다. 이 가짜 동전은 진짜 동전에 비하여 1g이 가볍다 1g 단위눈금이 표시된 천평칭을 단 한 번 사용하여 가짜 동전이 들어 있는 주머니를 구별 할수 있는 방법은?

 

 

 

답:

열개의 주머니를 일렬로 나열한 뒤,

1번째 주머니에서 1개, 2번째 주머니에서 2개, 3번째 주머니에서 3개, 4번째 주머니에서 4개, 5번째 주머니에서 5개를 꺼내서 천평칭의 좌측에 올려놓습니다.

그다음 6번째 주머니에서 1개, 7번째 주머니에서 2개, 8번째 주머니에서 3개, 9번째 주머니에서 4개, 10번째 주머니에서 5개를 꺼내서 천평칭의 우측에 올려놓습니다.

그럼 천평칭이 한쪽으로 기울겠죠. 예를들어 좌측으로 3눈금 만큼 기울었다면, 우측이 3g 가볍다는 소리이므로, 동전 3개를 꺼낸 8번째 주머니가 가짜동전이 든 주머니가 됩니다.

동전 무게 구하기.

★★☆☆☆

 

101개의 동전이 있고 그들 중 한개만이 다른 100개와 무게가 다르다. 두 번의 저울질(천평칭)을 하여 무게가 다른 동전이 정상 동전보다 가벼운지 무거운지 알아 볼수 있는 방법은?

 

답:

1개를 빼고 50:50개로 나눠서 측정합니다.

저울이 평형을 이루면 뺀 하나가 무게가 다른 동전이므로 그 동전과 다른 동전 하나를 비교하면 가벼운지 무거운지 알 수 있습니다.

저울이 한쪽으로 기울 경우는 50:50 중 한쪽을 25:25로 나누어서 측정합니다.

무거운쪽을 나누기로 했다고 하면, 저울이 평형을 이루거나, 한쪽으로 기울겠죠.

저울이 평형을 이루면 동전 한개는 가벼운 것이 되고(무거운쪽 50개의 무게는 전부 같다는 말이 되므로), 한쪽으로 기운다면 무거운 것이 됩니다(무거운쪽에 가벼운 동전이 들어 있을 수는 없으므로 무거운 동전이 들어있어서 평형이 이루어지지 않는다).

반대로 가벼운쪽을 나누기로 했다고 하면, 저울이 평형을 이루면 동전 하나는 무거운 것이 되고 한쪽으로 기운다면 가벼운 것이 됩니다.

 

성냥개비 퀴즈 1

★★★☆☆

 

성냥개비 6개로 정삼각형 4개를 만드시오

 

(단, 성냥개비를 모두 써야하고 부러뜨리거나 원래의 모양을 손상시키는 행위는 할수 없다.)

 

 

답:정사면체를 만든다

바둑돌 승부

★★★☆☆

 

 

두 사람이 21개의 바둑돌을 가지고 내기를 하고 있다. 두 사람은 모두 바둑돌을 하나 둘 또는 세개씩 교대로 가져가기로 한다

마지막 바둑돌을 가져가는 사람이 내기에서 지게되어 있다 바둑돌을 먼저 가져간 사람이 이길 것인가?

 

 

 

답:먼저 가져간 사람이 집니다.

먼저 가져간 사람이 1개를 가져가면 3개를, 2개를 가져가면 2개를, 3개를 가져가면 1개를 가져갑니다. - 남은것 17개

먼저 가져간 사람이 1개를 가져가면 3개를, 2개를 가져가면 2개를, 3개를 가져가면 1개를 가져갑니다. - 남은것 13개

먼저 가져간 사람이 1개를 가져가면 3개를, 2개를 가져가면 2개를, 3개를 가져가면 1개를 가져갑니다. - 남은것 9개

먼저 가져간 사람이 1개를 가져가면 3개를, 2개를 가져가면 2개를, 3개를 가져가면 1개를 가져갑니다. - 남은것 5개

먼저 가져간 사람이 1개를 가져가면 3개를, 2개를 가져가면 2개를, 3개를 가져가면 1개를 가져갑니다. - 남은것 1개

이제 먼저 가져간 사람의 차례인데 1개 남아있으므로 먼저 가져간 사람이 지게 됩니다.

아인슈타인의 문제

★★★★☆

 

[ 전제조건 ]

♠ 5채의 각각 다른 색깔의 집이 있다.

♠ 각 집에는 각각 다른 국적의 사람이 산다.

♠ 각 집주인들은 각각 다른 종류의 음료수를 마시고, 다른 종류의 담배를 피우고, 다른 종류의 애완동물을 기른다.

   [ 조 건 ]

1. 영국인은 빨간색 집에 산다.

2. 스웨덴은 개를 기른다.

3. 덴마크인은 홍차를 마신다.

4. 녹색집은 흰색집 바로 왼쪽에 위치해 있다.

5. 녹색집 사람은 커피를 마신다.

6. 풀몰(Pall Mall)담배를 피우는 사람은 새를 기른다.

7. 노란색 집 사람은 던힐(Dunhill)담배를 피운다.

8. 한가운데 사람은 우유를 마신다.

9. 노르웨이인은 첫 번째 집에 산다.

10. 블렌드(Blend)담배를 피우는 사람은 고양이를 기르는 사람 옆집에 산다.

11. 말을 기르는 사람은 던힐(Dunhill)담배를 피우는 사람 옆집에 산다.

12. 블루 매스터(Blue Master)담배를 피우는 사람은 맥주를 마신다.

13. 독일인은 프린스(Prince)담배를 피운다.

14. 노르웨이인은 파란색집 옆집에 산다.

15. 블렌드(Blend)담배를 피우는 사람은 물을 마시는 사람 옆집에 산다.

 

다음 조건들을 보고 금붕어를 키우는 사람은 어느나라사람인지 쓰시오.

 

*노트를 사용하면 쉽게 풀 수 있습니다.

 

 

답: 독일인

 

범인을 찾아라.

★★★☆☆

 

잭, 시드, 앨프, 짐 이렇게 네 명의 용의자가 살인 사건 현장에서 심문을 받고 있다.
용의자들은 질문에 대해 각기 다음과 같이 대답한다.

잭: "시드가 살인을 저질렀습니다."
시드 : "짐이 살인을 저질렀어요."
앨프 : "난 살인은 저지르지 않았어요."
짐 : "시드가 거짓말을 하고 있어요."

네 사람 가운데 한 명만 진실을 말하고 있다.
누가 살인자일까?

 

 

 

답: 짐이 진실, 앨프가 범인

 

 

풀이:1. 잭의 말이 사실이고 나머지가 거짓인 경우 :
 시드가 범인이 되고 짐은 거짓, 앨프의 말은 사실이 되므로 모순
따라서 잭의 말은 거짓. 따라서 시드이외의 인물이 범인.
2. 시드의 말이 사실이고 나머지가 거짓인경우 :
짐이 범인이 되고 짐의 말이 사실이라면 패러독스에 빠지므로 시드의 말역시 거짓. 따라서 짐 이외의 인물이 범인.
* 여기서 일단, 잭 또는 앨프가 용의자.
3. 앨프의 말이 사실이고 나머지가 거짓인 경우 :
앨프가 범인이 되고 나머지는 틀린부분이 없으므로 일단 앨프 용의자.
4. 짐의 말이 사실이고 나머지가 거짓인 경우 :
짐이외의 잭, 시드, 앨프가 용의자.
Q.E.D : 합집합에 의한 소거법으로 앨프가 범인

 

가정1 잭이 범인이라면 진실2개
가정2 시드가 범인이라면 진실2개
가정3 짐이 범인이라면 진실2개
가정4 엘프가 범인이라면 진실1

'진실은 하나다'라는 전제사실로 엘프가 범인

 

어느게 진짜 스위치인가?

★★★☆☆

 

'산 속에 어떤 집이 있는데 창문이 없고 문이 산이 있는 방향과 반대로 있다. 그 집엔 백열전구가 하나 있는데 그 스위치는 문과 반대 방향에 있는 산에 있다. 근데 그 스위치가 3개 있는데 그중 2개는 가짜다. 단 한번만 그 집에 왕복해서 진짜 스위치를 알아낼 것'

 

 

 

 

 

 

풀이:전기 스위치가 3개라고 했으니  스위치 각각을 1  2  3 이라고 한다.

먼저 1번 스위치를 켠다.

1시간정도 놔둔후 1번 스위치를 끄고 이번엔 2번 스위치를 켠다.

그리고 집으로 가서 전구를 확인한다.

만약 불이 켜져 있다면 2번 스위치가 집의 진짜 스위치다.

만일 불이 꺼져 있다면 전구를 만져본다.

그래서 전구가 뜨겁다면 1번 스위치가 진짜 스위치다.

왜냐하면 1번 스위치를 켜서 1시간 놔뒀으니 전구가 많이 달궈졌을것이기 때문이다.

전구가 차갑다면 3번 스위치가 진짜 스위치다.

행운의 전화박스

★★★☆☆

 

Q. 행운의 전화박스
신참 수리공이 새로 업무를 배정받았다. 그가 맡은 지역에는 전화박스가 모두 15개 있다. 감독관이 8번까지의 박스 중에서 다섯 개가 당장 수리가 필요하니 시험삼아 하나를 고쳐보라고 지시한다.
수리공은 8번이 가장 고장났을 확률이 높다고 생각하곤

곧장 8번 전화박스로 직행했다. 왜일까?

 

풀이:만일 다섯번째 고장난 전화박스가 7번이나 6번째 박스였다면
'7번까지의 박스중...'이나 '6번까지의 박스중...'이라고 이야기 했을 가능성이 높다.

그러나 '8번까지의 박스중...'이라고 이야기했으므로 8번이 고장났을 확률이 높다.

건달과 기사

★★☆☆☆

 

어느 마을엔 건달과 기사가 있다

건달은 항상 거짓으로 답하고

기사는 항상 참으로 답한다.

어느날 이 마을이 여행객이 찾아와

질문을 했다.

여행객:당신은 기사입니까?

기사:네(참)

건달:네(거짓)

 

여행객:당신은 건달입니까?

기사:아니오(참)

건달:아니오(거짓)

 

이와 같은 답이 나오자

여행객은 이와 같은 질문을 던져 서로 다른 답을 유도하고 어느 사람이 건달인지 알수 있었다.

이 질문은 무엇인가?

 

 

답: "당신은 '기사'이거나 '건달'입니까?"

 

풀이: 답을 질문했을경우 기사는 예를 답할수 있지만 건달은 거짓을 답해야 하므로

 

아니오라고 밖에 답할수 없다.

몬티홀 딜레마를 구현해보았다.

본 이야기를 하기에 앞서,

 

몬티홀 딜레마란 무엇일까? 몬티홀 패러독스라 부른 사람도 있지만

 

단순한 확률문제이고 모순점이 없기때문에 패러독스라고 하기엔 뭐하다.

 

또한 몬티홀 딜레마는 매우 널리 알려져있는 문제이기도 하도.(하긴, 스타리그 맵에서도

 

몬티홀이 있으니..)

 

몬티홀 딜레마란 일종의 확률과 관련된 수학문제이다.

 

어느 TV 버라이어티 프로그램이 있다.

 

그 프로그램에서는 출연자가 원하는 상품을 주는 프로그램이다. 물론 공짜는 아니고..

 

그 프로그램에서는 3개의 문이 있는데 뒤쪽에 무엇이있는지는 볼수가 없다.

 

이 때 사회자는 출연자에게 3개의 문중 하나를 고르라 한다.

 

3개의 문중 하나는 출연자가 원하는 물건(예를들면 자동차나.. 잃어버린 우리들의 추억같

 

은 것 말고..)이 있다.

 

그러나 나머지 2개의 문에는 선글라스를 낀 염소나.. 오물덩어리가 든 통등

 

쓸모없는 것들이 들어있다.

 

3개의 문중 하나를 고르면 사회자는 나머지 2개의 문중

 

쓸모없는것이 들어있는 문을 연다.

 

그리고 선택한 문을 제외한 하나의 문을 가리키면서 바꾸겠느냐고 물어본다.

 

이때 문제가 제기된다.

 

과연 바꾸는것이 확률이 높을까 아니면 고수하는쪽이 확률이 높을까?

 

수학자들은 바꾸는것이 확률이 높다고 말한다. 일반 사람들은 경우의수를 생각해보았을

때 50%가 아니냐고 묻기도 한다.

 

하지만 실제로 그런 상황을 만들어놓고 해보면 거의 66%즉 3분의 2에 가까운 확률로

 

바꿧을때가 높은것이다.

 

이것은 확률의 문제이다

 

처음에 문 3개를 고를수 있다. 이때 쓸모없는것(이하 잡 이라고 칭한다.)

 

을 골랏을때에 사회자가 나머지 두개중 잡이 들어있는 문을 열어준다.

 

이때 바꾸냐고 물어본다. 이때 바꾸면 원하는것을 얻을 수 있다.

 

이번엔 잡이 아닌 원하는것(원 이라고 칭하겠다.)즉 원이 들어있는 문을 골랐을경우

 

나머지 2개중 (어차피 둘다 잡이지만) 잡인문을 하나 열어준다.

 

이때 바꾸면 잡이 걸리므로 망한다.

 

즉 무조건 바꾼다고 햇을떄 잡을 고르면 원을 얻고 원을 고르면 잡을 얻는것이다.

 

이때 3개의 문중에서 암거나 고른다고하면 잡을 고를 확률이 높을까? 원을 고를 확률이 높

 

을까? 잡은 2개고 원은 1개이다

 

즉 잡을 고를확률이 더 높으므로 바꿧을떄 원을 고를 확률도 높은것이다.

 

이때 원을 골랐을떄 나머지 2개중 첫번쨰를 열었을때와 2번쨰를 열었을떄 2개가 있으므로

 

50%가 아니냐고 주장하는 사람들이 있는데(나도 처음엔 그랬다.)

 

원을 고를 확률은 3분의 1이다.

 

이때 첫번쨰를 고를 확률과 2번째를 고를확률까지 한다면

 

그 3분의 1에 2분의1을 곱해줘야하는것이다.

 

즉 첫번쨰 골랐을때 6분의1 + 2번쨰 골랐을떄 6분의1=즉 3분의1 이다.

 

결국 바꾸는게 3분의 2인것이다.

 

구현한것보다 몬티홀문제에 대한 설명이 더 길어져버렸다..

 

어쨌든 RPG2003 을 이용해 몬티홀 딜레마를 구현해보았다.

 

(단 rpg2003 런타임패키지를 설치하여야 한다.)

 

 

 

몬티홀.exe

몬티홀 딜레마를 구현함 런타임패키지 필요.